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数学上的“连续”的概念，怎么理解
（连续性在《数学分析》中是非常有影响力一个概念，它不仅本身发挥着重要作用（例如：作为函数的三大特性：连续性、可微性、可积性，之一）而且与许多其它概念都有关联（例如：极限），所以，要搞清楚它着实需要花一些力气！这里，小石头准备用十个话题，将连续概念的全貌展现给大家，希望大家能喜欢！）
连续就是一个接一个持续不间断之意。日常生活中的绳子、电源线、项链都是具有连续性质的事物，这些事物都是由一个个子对象组成，这些子对象排成一条线，对象之间没有间断。
数字天然可以根据大小关系排成一条线，于是数字组成的集合——数集，就有了研究联系性的必要，这就引入我们今天讨论的第一个话题：实数的连续性。
最初，人们认为：
整数集Z是不连续的，因为在0和1之间，存在1/2将它们隔开；
有理数集Q是连续的，因为Q具有稠密性：在任意两个不同的有理数之间，都存在无数个有理数；
但是，后来随着√2的发现，人们才知道有理数之间还存在无理数，因此有理数集Q不连续，而有理数+无理数组成的实数集R才是真正连续的。
同时，人们还认识到稠密性≠连续性，我们需要重新寻找实数的连续性的定义！早期，人们将实数和直线上的点一一对应，而几何上，直线被定义为是连续的，因此与直线一一对应的实数集也是连续的，后来，经过漫长的岁月，数学家发现，对于某个数集K，可以进行如下分割操作：
K的所有数字依从小到大，从左到右，在我们面前排成一条线。我们用刀去砍这条线，一刀下去，将一条线分为左右A，B两段，显然，A和B满足条件：
左半边A中的任意数字都小于右半边B中的任意数字
称满足上面条件的这种分割操作，为戴德金分割，记为A|B。人们发现，因K是否连续，戴德金分割的结果有差异：
如果K不连续，则这条线上存在缝隙，当刀刚好从某个缝隙点穿过时，分割的结果是：A没有没有最大值并且B没有最小值；
如果K连续，则这条线上不存在缝隙点，于是刀一定砍在某个点x上，又因为点不能被分割，于是刀要么从点x的左边穿过，这时B的最小值是x，要么从点x的右边穿过，这时A的最大值是x；
于是，大家就将上面的结论2作为数集K的连续性定义。实数集R符合这个定义的要求而有理数集Q不满足，我们称实数为连续性系统，简称，连续统。
不仅仅是直线，平面上的曲线也都是连续性的，而曲线又与实函数关联，于是，连续的概念就成为实函数的一个重要性质。那么，具体是如何在实函数上定义连续性呢？这就是我们这里要展开的第二个话题。
一个实函数f(x)定义为实数集R的子集E到实数集R的映射，记为,f:E→R(E?R)。我们要搞清楚整个函数f(x)的连续性，就要先搞清楚函数f(x)在定义域中的每一个点x?处的连续情况。
首先，如果x?点不存在，即，x??E，则函数f(x)在x?点看上去的确是不连续，我们称这样的点x?为奇点。
但是，这种不连续是定义域E的不连续引起的，它属于第一个话题讨论的数集E的连续性，而非这里要讨论的函数f的连续性。函数既然是映射，那么其连续性应该体现为：保持连续性，即，
将定义域E中的连续部分映射为值域R中连续的像集
而对于E的不连续部分，由于根本没有机会体现f的连续性，同时也无法找到不连续的证据，所有我们只能默认这部分点在f上是连续的。
接下来，我们先分析E中的连续部分中的点。
设E中x?附近定义域局部是连续的，如果f在x?点是连续性，则根据保持连续性要求，f(x?)附近的影像也应该是连续性。但是，事实上，函数值f(x?)可以与其右边、左边或两边的函数值断开，
这些情况，都违反了保持连续性，因此这时函数f(x)在x?就是不连续的，我们称这样的点x?为f(x)的一个断点。而只有当函数值f(x?)与其两边的函数值都连贯，
才能说函数f(x)在x?连续，我们称这样的点x?为f(x)的一个连续点。
我们仔细观察，上面x?左边连续、右边断开的情况，
就会发现：
由于左边连续，当x从左边无限逼近x?点时，函数值f(x)也会无限逼近f(x?)；
而因为右边断开，当x从右边无限逼近x?点时，函数值f(x)所无限逼近的值A和f(x?)之间相差断开的间距b，从而不相等；
我们称x从左边、右边或两边无限逼近x?点时，函数值f(x)所无限逼近的值A为f(x)在x?点的左极限、右极限或极限，分别记为：
也写成：
这里x→x?表示：x无限逼近x?点，方向没有限制；x??与x??分别限制只从x?的左边与右边逼近。
则，根据上面的发现，函数f(x)在x?点连续，就意味着：f(x)在x?点的极限是f(x?)，即，
这就是，函数在点x?处连续的第一种定义。
接着，再考虑E的不连续部分对于上面定义的影响。我们用x→x?∈E来表示在E内受E的制约下x无限逼近x?，即，只有当E使得x?左（或右）连续时，从左（右）边逼近才被启用：
于是，上面的定义也相应修改为：
这样以来，E的不连续性被从f(x)的连续性中完全排除，f(x)的连续性只要保证E中连续的部分保持连续就好了。例如，以下E中的不连续点对于f(x)都是连续的：
特别是x?这样的孤立点，使得既不能从左边逼近也不能从右边，于是逼近失去意义，它总是连续的！
最后，在函数f(x)关于点x?连续性定义基础上，我们只要再定义：
如果一个函数f(x)在每一个点x?处都是连续的，则称该函数f(x)是连续函数。
前面的讨论说明极限和连续性是紧密相关的，因此我们有必要开启第三个话题，以通过进一步分析极限，来揭示连续性的根深层的内容。
上面极限定义中用箭头表示的“无限逼近”，仅仅是一种直觉概念，并不是明确的数学定义。这种早期的微积分漏洞，后来被数学家用ε-δ语言补足。
对于任意极限x→x?,f(x)→A，我们令，
δ=|x-x?|
则δ表示当前x逼近x?的逼近距离，由于无限逼近要求x≠x?，所以逼近距离δ=|x-x?|>0。
同理，可以令，
δ'=|f(x)-A|>0
于是，极限x→x?,f(x)→A，可以描述为：
当x到x?的逼近距离δ无限小时，f(x)到A的逼近距离δ'也跟着无限小。
这里δ'的无限小，就意味着：
给定义任意f(x)到A的逼近距离ε都存在（δ导致下的）逼近距离δ'<ε。
将这句话，翻译成数学语言，就是：
对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足|x-x?|=ε的点x有|f(x)-A|<δ
这就是最初极限的ε-δ语言定义，但这个定义存在瑕疵，考虑下面的情况，
函数f(x)=sin(1/x)在逼近x?=0时的值会不停在-1到1之间震荡，所以x?=0应该没有极限值才对。但是根据上面的定义，A=0却是x?=0处的极限，因为：
对于任意的ε>0，总存在δ=1/π>0，使得满足|x-0|=δ的x=±1/π有|sin(1/x)-0|=|sin(±π)|=0<ε
为了避免这种的情况发生，我们要求：
随着δ的减小δ'是递减的，即，对于任意逼近距离小于δ的逼近点x，都有f(x)到A的逼近距离小于δ'
翻译成数学语言，就是：
对于任意满足0<|x-x?|<δ点x都有|f(x)-A|<δ'
用这个要求，修正前面的定义，最终ε-δ语言下极限的定义：
如果对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足0<|x-x?|<δ的点x都有|f(x)-A|<ε，则称A是f(x)在x?点的极限。
对于，左极限或右极限，我们只需要在上面定义中，加入x<x?或x>x?的条件就可以了。
与极限类似，我们也可以用ε-δ语言来描述前面的函数的一点连续性：
给定f(x)上的一点x?，如果对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足|x-x?|<δ的点x都有|f(x)-f(x?)|<ε，则f(x)在x?点处连续。
这里允许x=x?（区别于极限的定义）有两方面原因：
已经规定了x?是f(x)上的点，即，x?∈E存在；
为了让孤立点是连续点。
到此为止，我们所讨论的函数连续性仅仅是对一元函数而言的，那么多元函数的连续性又是什么呢？在接下来的第四个话题中，我们来讨论这个问题。
一个m元函数记为f:E→R(E?R?)，其中，
称为m维欧氏（向量）空间，R1=R就是实数空间。
注意：这里变量的上标和变量的下标一样，表示序号。
也就是说，多元函数f(x)=f(x1,x2,...,x?)就是以向量x=(x1,x2,...,x?)为变量的函数。
设x?=(x1?,x2?,...,x??)∈E，并且x?周围的定义域连续性。
我们，定义x→x?为：
x1→x1?,x2→x2?,...,x?→x??
其中个变量的无限逼近是独立的，这保证了向量x可以从任何方向逼近向量x?。
这样以来，前面一点连续的第一个定义中极限条件，对于多元函数，就解释为：
接着，我们在R?中定义向量x与x?之间的距离为：
|x-x?|=√[(x1-x1?)2+(x2-x2?)2+...+(x?-x??)2]
注意：这里()的上标表示指数。
这样以来，前面一元函数一点连续的ε-δ语言描述对于多元函数依然有效。
多元函数的连续性，依然是对E内部而言的，忽略E本身的不连续部分。
到这里，我们的升级并没有结束。既然向量可以作为函数的变量，那么就可以作为函数的值，这样的函数称为向量函数。
多元向量函数f:E→R?(E?R?)，可以认为是n个m元函数的向量，即，
f(x)=(f1(x),f2(x),...,f?(x))
于是，前面一点连续的第一个定义中极限条件，对于多元函数，就解释为：
而，上面已经定义了距离，故一点连续的ε-δ语言描述，对于多元向量函数也是无缝一致。
下面，以最简单的多元向量函数——复函数为例，来看看上面抽象讨论的具体面貌。
一个复函数，记为f(z):C→C，其中复平面C二维平面R2的扩展，具有R2的完全性质。复函数可以写为：
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
它将一个复平面上的任意点z?=x?+iy?映射为另一个复平面上的点f(z?)=u(x?,y?)+iv(x?,y?)，同时，将整个前一个复平面映射为后一个复平面的一部分。
点z?附近的连续或间断情况如下：
根据，前面讨论，无限逼近z→z?解释为x→x?,y→y?。
极限连续条件：
在这里的意思是：z从任意方向无限接近z?时，f(z)都会无限接近f(z?)，解释为：
用ε-δ语言描述为：
对于任意实数ε>0，都存在实数δ>0，使得对于一切|z-z?|<δ的复平面上的点z都有|f(z)-f(z?)|<ε。
其中，复数间距离定义为：
|z-z?|=√[(x-x?)2+(y-y?)2]
前一个话题中，提到多元函数定义域E的连续性，我们并没有深究，其实这里是有问题的，在接下来的第五个话题中，我们来讨论这个。
首先，我们思考：一条线上缺失点，则这条线一定断开，不再连续，但，一个平面上缺失点，则只能说明这个平面有破洞，不再完整，不能说明平面不连续，更高维度的空间也是如平面一样。因此，对于任意维度空间V，来说，我们用完整的概念来代替连续，称为空间V的完备性。可以认为，完备性是连续概念的升级，一维空间的完备性就是连续性。
其实，多元函数，也已经不仅仅局限是一条曲线了，它们可能是曲面或超曲面，其所谓连续性也只是表示曲面上没有破洞，即，完整之意，但为了兼容性，我们依然称之为函数连续性。
其次，我们第一个话题中讨论的数集K的连续性定义，默认要求K中元素是可以排除一条直线，而高维度的空间是平面或超平面，根本就不是直线，因此这个定义无法被完备性使用，我们需要重新寻找，一种新的方法，来判定空间中是否有点的缺失。
要判定空间V中某个点A是否缺失，我们首先要指向这个点处，前面极限的无限逼近是一个好的思路，
如果我们可以找到：一个函数f:E→V（E?R），当x无限逼近x?时，f(x)无限逼近某处，则
如果V在该处没有缺失，对应点A，则f(x)在x?点的极限存在，就是A；
如果V在该处缺失，则f(x)在x?点没有极限；
如果，判别函数f(x)是无限逼近某处呢？原来的ε-δ语言下的判别标准：
对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足0<|x-x?|<δ的点x都有|f(x)-A|<ε
显然不行，因为我们无法确定A点是否存在，不过我们可以对这个判别标准，进行修改：
对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足0<|x-x?|<δ的任意两点x=x?,x?都有|f(x?)-f(x?)|<ε
这个新判别标准，避免了A的出现，但又可以证明与原判别标准等价，堪称绝妙。
至此，我们就有了V完备性的一个粗糙条件，
任意一个在x?满足新判别标准函数f(x):E→V，都在x?处有极限
这个条件有些复杂，可以做进一步简化，我们固定x?=∞，让E为自然数集N并令，
a?=f(0),a?=f(1),....,a_n=f(n),...
这样我们就将函数f(x)转化为序列a?,a?,....，函数f(x)在x?处是否极限，转化为序列a?,a?,....是否收敛。对于序列新判别标准也更简单：
对于任意ε>0，都存在自然数N，使得任意自然数m,n>N都有|a_m-a_n|<ε
称，满足这个条件的序列为基本列。于是空间V完备性的最终定义为：
如果V中任意基本列都是收敛列，则称V是完备的。
这个定义，仅仅要求V中定义有距离|a_m-a_n|，我们前面已经定义了欧氏空间R?中的距离，因此这个定义可以用于判断欧氏空间的子集E的完备性。
空间V中的距离，是V上的二元函数d(x,y):V×V→R，它满足：
正定性：d(x,y)≥0，d(x,x)=0；
对称性：d(x,y)=d(y,x)；
三角不等式：d(x,y)+d(y,z)≤d(x,z)；
我们称定义有距离函数的空间V为距离空间，记为(V,d)。可以验证前面定义的距离满足上面的条件。
空间完备性定义，对于任意一个距离空间都适用。
注意：一个空间可以定义多种距离函数，例如R?中也可以这样定义距离：
d(x,x?)=|x1-x1?|+|x2-x2?|+...+|x?-x??|
上一个话题引入了距离空间的概念，如果我们回顾，前面多元向量函数的ε-δ语言所描述的连续性定义，就会发现，这个定义也仅仅依赖于距离。这说明，对于任意距离空间(V,d?)到(W,d?)的映射f:V→W，我们都可以定义其一点连续性为：
如果对于任意ε>0，都存在δ>0，使得满足d?(x,x?)<δ的点x都有d?(f(x)-f(x?))<ε，则f(x)在x?点处连续。
这样我们就将函数的连续性推广为距离空间间映射的连续性。到这里，大家不禁会问：有没有比距离空间更一般的空间呢？如果有，这个空间上映射的连续性又是如何定义的呢？接下来的第六个话题，我们来讨论这个问题。
让我们回到最初，讨论实函数的地方！
对于实函数f(x)定义域E中的任意集合U，定义U在f下的像为：
f(U)={y:?x∈U，f(x)=y}
然后，再仔细观察比较，f(x)在x?点，两边断开的情况，
以及两边连贯的情况，
我们就会发现：
如果x?是间断点，则存在真包括f(x?)的区域V，对于任意真包括x?的区域U都无法使得U的像f(U)包含在V内；
如果x?是连续点，则对于任意真包括f(x?)的区域V，都存在真包括x?的区域U，使得U的像f(U)包含在V内，
其中，区域U真包括x?，的意思是：U包括x?但不仅仅包括x?。
这里必须是真包括，因为，如果允许U只包括x?，即，U={x?}，则f(U)={f(x?)}显然包含于V，于是，上面的发现1就不成立了。
考虑包含x?的开区间(a,b)，因为a<x?，根据实数的稠密性，一定存在x?使得a<x?<x?，故(a,b)一定不仅仅包括x?，于是，要让U真包括x?，我们只需要让U包括包含x?的开区间(a,b)就可以了。我们称包括x?的某个开区间的区域为x?的邻域。
对上面的发现2进行整理，我们就可以得到实函数一点连续的第二个定义：
如果对于任意f(x?)的邻域V，都存在x?的邻域U，使得f(U)?V，则称函数f(x)在x?点连续。
若，令V={y:|y-f(x?)|<ε}，U={x:|x-x?|<δ}，则上面的定义其实就是第一个定义的ε-δ语言描述了。
对于多元向量函数，因为平面，超平面没有区间一说，所有，我们用开集代替开区间，重新定义邻域如下：
包括x?的某个开集的区域称为x?的邻域。
至此，这第二个定义，就可以无缝迁移到元向量函数上了。同样以前面的复函数f(z)为例，观察比较z?附近连续和间断的情况，
这与前面的发现完全一致。
这个全新的一点连续定义仅仅依赖邻域的概念，而邻域又是由开集来定义，所以任意集合只要在其中指定开集，我们就可以得到其上映射连续性了。
指定了开集的集合X，被称为拓扑空间，如果用τ表示X中全体开集组成的子集族，则拓扑空间记为(X,τ)。开集是开区间的拓广概念，它需要满足如下条件：
全集X与空集?都是开集；
任意多个开集的并依然是开集；
任意两个开集的交依然是开集；
我们，可以证明拓扑空间是比距离空间更广泛的空间。
拓扑空间之间的映射，称为拓扑映射，其一点连续性，由第二个定义提供。
至此，关于映射的一点连续性，基本上算是讨论清楚了，接下来的第七个话题，让我们来讨论一下映射整体连续性问题。
类似前面的连续函数概念，我们定义映射的整体连续性，如下：
如果映射f在其定义域中每一点都连续，我们称f是连续映射。
这个定义依赖，一点连续性！其实，对于拓扑空间(X,τ?)到(Y,τ?)的拓扑映射f:X→Y，我们也可以用开集来直接定义其整体连续性。
对于映射f的值域任意区域V?Y，定义V在X中的原像为：
f?1(V)={x∈X:f(x)∈V}
再回到最开始，观察比较，连续实函数与非连续实函数，
我们发现：
对于连续函数：任何开区间（开集）A的原像f?1(A)依然是开区间（开集）；
对于非连续函数：存在开区间（开集）A的原像f?1(A)不是开区间（开集）。
对上面的发现1，进行整理，我们就到如下关于拓扑映射整体连续性的定义：
如果拓扑映射f，使得Y中的任意开集A的原像f?1(A)依然是X的开集，
即，
?A∈τ??f?1(A)∈τ?
则称f为连续映射。
除此之外，我们将闭区间推广为闭集，定义如下：
开集关于全集X的补集，
然后，再根据进一步观察比较，闭集于上面的情况，
不难发现：
对于连续函数：任何闭区间（闭集）A的原像f?1(A)依然是闭区间（闭集）；
对于非连续函数：存在闭区间（闭集）A的原像f?1(A)不是闭区间（闭集），
这说明，我们将上面拓扑映射整体连续的定义中的开集替换为闭集后依然有效。
上面的整体连续性是基于一个一个点的，可以称为逐点连续，下面第八个话题，我们讨论另外一种整体连续性——一致连续。
考虑实函数f:E→R(E?R)，如果对于任意实数ε>0，都存在实数δ>0，使得对于一切|x?-x?|<δ的x?和x?都有|f(x?)-f(x?)|<ε，我们就称f是一致连续的。
我们只要将x?替换为x?并固定，则上面的定义就是x?点连续的定义，然后再放开x?，则上面的定义保证了每个x?处的连续性，进而，也就保证了逐点连续，因此一致连续的一定是逐点连续的。
但是反过来，逐点连续不一定是一致连续了。考虑前面那个函数f(x)=sin(1/x)，我们令
E=(0,π]，x?=1/(kπ),x?=1/(kπ+π/2)，k是自然数，
则有，
|x?-x?|=1/[(2k+1)kπ]
|f(x?)-f(x?)|=|sin(kπ)-sin(kπ+π/2)|=|0±1|=1
这样以来，对于存在实数1>ε>0，对于任意δ>0，由于E中的点x?和x?可以无限小，于是总是存在k使得|x?-x?|=1/[(2k+1)kπ]<δ，但|f(x?)-f(x?)|=1>ε。这说明f(x)=sin(1/x)在E上不是一致连续的。
那么，什么情况下，逐点连续一定是一致连续呢？
由于f逐点连续，则意味着给定任意ε>0，对于每个x?∈E，都存在δ_x?>0使得满足|x-x?|<δ_x?的点x都有|f(x)-f(x?)|<ε/2。
令，V_x?={x∈E:|x-x?|<δ_x?/2}，因为每个x?∈E都属于一个V_x?所以，
如果，能从E中找到有限n个x?：x?1，x?2,...,x??保证：
则，令
δ=min{δ_x?1,δ_x?2,...,δ_x??}/2
由于，每个δ_x??>0，而n是有限的，所以δ>0。
注意：这里必须保证n有限因为，当n无限时，即便是每个δ_x??>0，它们的最小值依然可以为0，例如：
min{1,1/2,...,1/n,...}=0
对于任意满足|x?-x?|<δ的x?和x?，中必然有x?属于某个δ_x??，满足，
|x?-x??|<δ_x??/2
根据距离的三角不等式：
|a-b|≤|a-c|+|b-c|
有，
|x?-x??|≤|x?-x?|+|x?-x??|<δ+δ_x??/2≤δ_x??
由|x?-x??|<δ_x??/2<δ_x??与|x?-x??|<δ_x??分别可得到，
|f(x?)-f(x??)|<ε/2与|f(x?)-f(x??)|<ε/2
再次使用三角不等式，就得到：
|f(x?)-f(x?)|≤|f(x?)-f(x??)|+|f(x?)-f(x??)|<ε
这样，就推导出了一致连续。
在推导过程中，我们要求：
可以从E的任何一个开区间（开集）的覆盖（简称开覆盖）V={V_x?:x?∈E}，E?∪V中找到有限个元素的子集W={V_x?1,V_x?2,...,V_x??}?V依然是E的覆盖E?∪W。
我们称满足上面要求的集合E为紧致的。
数学家证明了：任意闭区间都是紧致的！所以说，闭区间上的连续函数一定是一致连续的。
如果从新令E=[π,2π]，则E是一个闭区间，于是之上的连续函数f(x)=sin(1/x)这会就变成一致连续的了。前面，由于E中的点x?和x?已经不可以无限小了，于是前面的反例也就不成立了。
不知不觉，已经到第九个话题，这里我们讨论与连续概念相关的间断和连通问题。
考虑实函数上f上任意一点x?，x?与右（左）边断开，有两种情况，
x?的右（左）极限存在，但不等于f(x?)，这种断开称为第一类间断；
x?的右（左）极限根本不存在，这种断开称为第二类间断；
设x?是间断点，如果x?只包含第一类间断的间断点，称x?为第一类间断点，否则称x?为第二类间断点。
如果第一类间断点的左极限=有极限，则称其为可去间断点。
单调函数如果有间断点则其必然是第一类间断点。
前面我们用完备性替换连续性来描述空间是否有漏洞问题，如果空间的漏洞如刀痕，则这些刀痕是有可能将整个空间分割的，这就牵扯到了空间的连通性问题。
对于一个拓扑空间(X,τ)可以有两个不同的连通：
如果X不能分割为两个不相交的开集的并集，即，
?A,B∈τ?A∩B=?∧A∪B=X
则，称X是连通的；
如果X中任意两点x,y都存在从x到y的道路，即，
?x,y∈X??r:[0,1]→X?r(0)=x∧r(1)=y
则，称X是道路连通的；
拓扑空间之间的连续映射f:X→Y，可以保持连通性，即，如果X是连通的，则其在Y中的像f(X)也是连通的。连续映射也可以保持道路连通性以及前面的紧致性。这些可以被连续映射保持的性质，称为拓扑性质。
最后，在第十个话题，我们对以上讨论进行补充与总结。
首先，小石头将以上讨论中所提到的主要概念绘制成关系图如下，方便大家理清。
其次，前面提到的有理数（实数）的稠密性，与有理数在实数中稠密是两个概念。
我们说拓扑空间X的子集A在X中稠密，是指对于X中的每个点x都有A中的序列a?,a?,...，收敛于x（一般定义为：A的闭包ā=X）。
有理数在实数中是稠密，因为对于每个实数x，
要么表示为有限小数，例如：x=1/2=0.5，则，收敛于x=1/2的序列就是0.5,0.5,...；
要么表示为无限循环小数，例如：x=1/3=0.3?，则，收敛于x=1/3的序列就是0.3,0.33,0.333,...；
要么表示为无限不循环小数，例如：x=π=3.14159?，则，收敛于x=π的序列就是3.1,3.14,3.141,...；
其三，连续性与可导性之间，靠极限关联。由于，f(x)在x?点的导数定义为：
如果f(x)在x?处不连续，则当x趋近x?时，|x-x?|趋近0，|f(x)-f(x?)|不趋近0，这导致f’(x?)=±∞，即，f(x)在x?处不可导。
以上结论的逆反命题，就是：
f(x)在x?处可导则f(x)必然在x?处连续。
反之则不成立！大名鼎鼎的Weierstrass函数，就是处处连续处处不可导的极端例子。
其四，函数连续性可以在函数的代数运算上保持，即，连续函数的加减乘除依然是连续函数。微分，积分也可以保持函数连续性。逐点收敛的函数序列，也可以保持函数连续性（而函数上的可导性与可积性，则要求是一致收敛）。
函数连续性还有一些性质（包括在中值定理中的作用），这里篇幅有限无法再展开讨论了，以后有机会再说。
最后，以上讨论以理解概念为主，小石头几乎忽略了能够被省略的证明，如果大家对有些命题和定义有疑问，可以参考《数学分析》。
同时为了，让概念更容易理解，以上讨论也牺牲了严谨性，有写论述可能不是那么数学。
还有，小石头讨论所选的切入角度和推进方式，都是针对学《高等数学》的条友而设计的，如果你是学《数学分析》可能没有阅读的必要，如果你没有学过《高等数学》可能会引起不适合，请谨慎阅读。
(小石头毕竟数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正！)
准备结婚呀，婚前发生了关系，结婚后会不会被看不起
先来说一个真实的故事。
燕子年轻时长得清纯可人，一进单位，就被单身的男同事们追捧，最后，她选择了长相帅气，幽默风趣的小李，两人瞬间陷入热恋模式，你侬我侬，一刻都不想分开。
由于燕子的家在郊区县城，她平日里住在单位宿舍，情到深处的小李，觉得这样见面很不方便，于是提出让燕子住到自己家来，一来生活上有照应，二来可以天天见面，燕子本来有些犹豫，但经不住小李花言巧语，想着反正是奔结婚去的，提前同居也没啥，于是就答应了。
可感情这事哪里能上保险呢，一年后，燕子和小李彻底闹掰，燕子又重新搬回单位宿舍。
这时，一直默默关注着燕子的小刚开始对燕子嘘寒问暖，小刚和小李、燕子都是同事，以前小李和燕子处对象时，小刚没机会，现在看到燕子失恋了，小刚心里又重新燃起了希望。
他经常请燕子吃饭，看电影，逛街，陪她熬过失恋最痛苦的日子。都说陪伴是最长情的告白，小刚的举动终于打动了燕子，俩人甚至到了谈婚论嫁的地步。
可第一个跳出来反对的，就是小刚的母亲，她声泪俱下地求儿子放弃，说燕子和小李同居的事全单位都知道呢，你让我这老脸往哪搁？
这时，爱火焚身的小刚哪里听得进去，不顾父母要断绝关系的威胁，硬是将燕子娶进了门。
婚后的生活本来也甜甜蜜蜜，可随着时间的推移，小刚心里渐渐失衡，尤其同学、同事聚会时，他老认为别人暗地里在笑话他，再加上燕子和父母的关系一直处于冰点，自己夹在中间受够了折磨。
最终，在结婚五年后，小刚提出了离婚。
聪明的女孩在这个故事里一定看出来了，对于婚前发生关系，一定要慎之又慎。
情到深处的男女，难免会偷吃禁果，但一定要做好保护措施，避免怀孕。
最好不要同居，女孩一定要珍惜自己的名誉，不要给人留下话柄。
分手后不要找同圈子里的人，复杂的关系只会让你的婚后生活一地鸡毛。
尤其不要让长辈知道你们发生关系的事，人性有时候经不起考验，有些婆家巴不得自家儿子把女孩肚子搞大，生米做成熟饭，不用花什么钱，就可以把儿媳、孙子一起迎进门。
所以，女孩们在恋爱时一定要洁身自好，保护好自己的隐私，婚后的幸福指数相对会高一些。
【如果你有感情问题，欢迎私信我聊一聊】
你知道“嫖娼”的法律后果及后续影响吗
列举三个真实案例：分别是看似不太要紧的嫖娼行为，但却导致三种不同的恶劣后果。随便一种后果都是致命的。足以改变一个人的人生轨迹！更有可能影响自己下一代的一辈子！
不可否认，性对雄性有着非同一般的诱惑力。在醉酒等特殊状态下诱惑力成倍增加。致命诱惑力的后果就是会让人短时间失去理智。做出一些追悔莫及的行为。并且最终一辈子都在饮自己酿下的这一杯苦酒！
最有说服力的不是生涩的法律条文，而是法律后果！法律后果最直观的体现方式就是典型案例。生动且真实地诠释着法律的规定。更能够让我们有足够的直接的感官教育。让我们体会到真实的追悔莫及！
（被抓时赤身裸体的尴尬是一辈子的心理阴影）
典型真实案例一、嫖娼后丢失体面又收入稳定的工作：一、简要案情：
黄某某，男，35岁，凭借着读书时期的勤奋学习。考入了某高等学府。大学毕业后，因为对于专业的刻苦学习。很顺利地就职于福建某光学公司。入职后很快成为公司技术骨干。凭借自己不错的情商。几年后就爬至公司管理层。年薪丰厚，娶妻生子后，成为人人羡慕的对象
该黄与公司在2014年11月11日建立劳动关系。2018年1月1日双方再签订《劳动合同书》，约定合同期限自2018年1月1日起至2023年12月31日止。并约定：合同到期后双方均无异常事由，自动续签！黄某从事某管理层的高管岗位。
公司《员工手册》系2001年制定，该手册第十章第十条规定:“员工有下列情形之一的，予以开除处分，并视情节轻重承担相应的法律责任：……12.员工连续无故旷工5日（含）以上，或全年累计无故旷工15日（含）以上者。
（员工手册是很多公司管理的方法之一）
2019年5月24日至2019年6月8日期间，黄某某因嫖娼被福州市公安局仓山分局决定处以行政拘留15天。黄某某被拘留期间，并未向公司正式请假。仅仅是委托妻子以短信的形式告知公司领导，自己被拘留期间不能上班了。具体被拘留事由等均未告知公司领导。
2019年6月10日，公司向其工会作出《申请报告》，该报告的主要内容是：黄某某于5月24日晚临时以短信的形式向公司领导请假，声称其被拘留无法上班。领导依据实际生产任务情况向黄某某短信回复无法准假。在公司未准假的情况下，黄某某至今未到岗，严重影响了公司生产进度，导致公司出现重大损失，系旷工。公司根据《员工手册》的规定，拟给予黄某某开除处分。现将上述情况告知工会并请工会研究处理。2019年6月11日，公司工会在该报告上写明“同意开除”并加盖工会章。
2019年6月15日，黄某某到公司上班时，公司口头告知黄某某，因其无故旷工按照《员工手册》的规定，已经被开除了，并向黄某某送达书面开除决定。
（旷工开除的规定）
二、申请劳动仲裁结果：
黄某某对公司的开除不服，申请仲裁要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金，仲裁委员会裁决公司支付赔偿金43519.6元。
公司又对裁决不服，向福州市仓山区人民法院提起诉讼，要求法院判决公司无需向黄某某支付经济赔偿金43519.6元。
福州市仓山区人民法院认为，公司提交的证据可以证明黄某某旷工，如果公司认为，黄某某的行为已经足以构成解除劳动合同的情形，那么公司也应该运用规范的解除程序，解除与黄某某的劳动关系。但公司提交的证据既不能证明其《员工手册》的制定和运用已经过民主程序制定，也不能证明其工会的成立过程符合民主议定程序，因此，其依据《员工手册》及工会作出的开除决定，作为解除与黄某某劳动合同的行为，不符合相关法律的规定，依法不予认可。
（案例认定嫖娼处罚决定）
三、一审判决结果：
公司未提供证据证明规章制度经过民主程序，属违法解除，应当支付赔偿金。
鉴于公司于2019年6月10日口头告知黄某某，因其无故旷工，已经被开除。同时，黄某某也未再到公司上班，据此，一审法院可以认定双方劳动关系于2019年6月10日实际解除。综上，一审法院判决公司向黄某某支付违法解除劳动合同的赔偿金43519.6元。
公司不服，向福建省福州市中级人民法院提起上诉。公司向法院提交福州金山投资区工会工作委员会开具的证明、公司工会接收高温补贴的国内支付业务收款回单、福州市总工会向公司授予“先进职工之家”的荣誉牌匾照片，共同证明公司工会系依法成立并接受上级工会的管理。
（公司工会的职能）
福建省福州市中级人民法院认为：黄某某仅仅发送一条短信以被拘留为由向公司申请请假十五天，并未告知公司拘留性质、拘留原因、作出拘留决定的机关以及联系方式等以供核实，公司未予准许其请假申请并无不当。不予计算周六、周日，2019年5月24日起至该月30日，黄某某旷工5天；至6月15日黄某某出现在公司，其旷工天数达到16天，且始终未向公司提交行政处罚决定书，黄某某的行为严重违反公司规章制度和劳动纪律，公司作出解除劳动合同的决定符合法律规定。
（旷工）
公司已将解除劳动合同的理由通知工会，并于2019年6月15日将解除劳动合同的决定告知黄某某，应当认定双方之间的劳动合同关系于2019年6月15日解除。公司系依法解除与黄某某的劳动合同关系，无需向黄某某支付经济赔偿金。
三、二审裁定结果：
综上所述，二审判决：黄某某的行为严重违反公司规章制度和劳动纪律，公司解除劳动合同符合法律规定，公司的上诉请求成立，应予支持。依照规定，二审判决撤销一审判决，改判公司无需支付赔偿金43519.6元。
（案例二审裁定结果）
四、小结：
以上案例是公司普通员工嫖娼被拘留后认定旷工被辞退。依据的是《劳动法》的相关条款。如果是国企或者公务员，那么后果就更严重了。
根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》第四十条之规定：公职人员参与卖淫、嫖娼、色情淫乱活动的，可以予以撤职或者开除。
（公职人员政务处分法）
根据《事业单位工作人员处分暂行规定》有关规定：有下列行为之一的，处警告或者记过处分；如果情况较为严重，将处以降职或撤职处分；情节严重者，给予开除处分。参加组织卖淫嫖娼等违法色情活动的；
稳定的工作丢了，意味着自己的饭碗被自己打翻了！虽然可以重新就业，但是自己已经付出了几年的努力就会白费了。一旦公职人员被开除，重新就业的范围将会缩小很多很多！
（纪律处分条例）
典型真实案例二、嫖娼后染病郁郁终生：一、简要案情：
在上海某高校攻读国际贸易硕士学位的林峰(化名)，精通三国语言，学习成绩优异，在校期间就已被几家大公司“盯”上了。凭借自己的天赋加努力换来的是人人羡慕的目光。但是一直忙于学习的林峰交际能力较差。林峰自己也意识到了自己的这个问题。
日常工作生活中，林峰也在有意识地培训自己。暂时的将自己的重心放在人际交往上来了。临近毕业了，林峰接收到很多公司的实习邀请。经过仔细甄别后，林峰选择了其中的几家公司。并且在实习过程中，林峰也有意识地主动请求参与公司的对外对接工作。目的就是培训自己的交际能力！
（当前社会对一个人的交际能力越来越重视）
但是在一次到山东的实习经历却彻底改变了他的命运。实习期间的某一天，得知公司有出差对接的事项，林枫第一时间跟领导请求接手这次出差任务。到达目的地之后，简单地安顿好自己。林峰便开始与对方公司对接。工作开展得很顺利。对方公司也很客气地留餐。因为是林峰一个人出差。觥筹交错中林峰也喝了不少酒。酒席散后，林峰婉拒了对方送行的好意。
一个人按照记忆中的路往回走。一路走一路欣赏夜景，顺便散散酒气。回酒店的有一截路是比较昏暗的一条小路。路边有好几个门面透出来的灯光是那暧昧的粉色。林峰虽然没有交往过女朋友，但是大学里也听寝室的哥们聊过，知道这是按摩房。酒后的林峰有些好奇的往门面房里看了几眼，映入眼帘的是穿着暴露，白花花的晃的林峰更加头晕了。
（暧昧的粉色红灯区）
想到自己现在身处几百公里外的异乡，没有熟人。林峰在酒精的怂恿下，打算去体验体验这按摩到底是怎么回事。
林峰来到一家发廊洗头，酒后没有经历过男女之事的林峰，经过失足妇女的挑逗，已经毫无控制自己的能力了，干了出格的事。这一次的经历，给一向老实本分的林峰留下了深深的烙印，酒醒后的他一直都无法原谅自己的过错。认为自己犯了大错！
不久后，林峰感到下身不适，联想到自己的所作所为。他非常害怕被染上性病，遂前往当地一家广告做得很火的性病治疗机构诊治，一位专家为其“精心”检查后告知：他的支原体、衣原体均受到感染，得了性病。
（让人谈之变色的性病）
专家“语重心长”地说，这种病非常严重，必须抓紧治疗，如果治疗不当，不但断不了根，还会影响以后的生育。专家的话更进一步地刺激了林峰那原本就绷紧的神经！在专家的“忠告”下，林峰坚持治疗，但是几次检查下来，这一顽疾还是未见好转。无奈的林峰回到了上海，找了一家正规大医院治疗，但医生检查后，发现林峰此时根本没有性病，长期受性病困扰的林峰怎么也不相信这一事实，便又找了几家声望较高的医院检查，结果还是如此。
前不久，林峰又来到了江苏省疾病控制中心皮肤病门诊部检查，当医生把支原体、衣原体为阴性这一结果告诉他时，他疑惑地问，这么难治的病怎么可能治好呢？医生对他看病的前因后果详细了解后，发现，此时的林峰心理上已经出现了问题，为此，该门诊部负责心理咨询的医生耐心地开导他，希望他能相信科学的诊断，但是，几次开导下来，林峰还是未能走出性病的困扰，反而受其影响而精神越加萎靡。
最终，无法自拔的林峰被家人送进了南京脑科医院，医生诊断他患了强迫症。病情越来越严重的林峰只能休学，停止实习生活。住进了医院进行有针对性的精神干预康复治疗......
（精神障碍的强迫症）
林峰如果第一次找了规范的医院诊治，且医生实事求是地告诉其病情，则根本不会出现这样的后果。这种由于医务人员的行为，造成病人精神方面疾患的病例在他所在的门诊部并不鲜见。
因此，再次提醒广大患者，性病首诊至关重要，一定要到正规医疗机构，切莫轻信广告，尤其是一些医疗机构所谓的免费检查，以免对自己造成无法弥补的伤害。而且目前为止，除了艾滋病，其它任何性病都是可治愈的，性病患者不要受不正规医疗机构的蒙骗，掉进性病治不好的“泥沼”，不能自拔。
（很多所谓的专业医院都是坑）
二、小结：
此案例是怀疑自己得性病之后郁郁不得解心结，最终导致精神心理疾病。即便是治疗好了，也是一辈子的心理阴影！
更有甚者是嫖娼过后，明确得知自己被传染，久而久之心理扭曲后的报复杀人案件，或者自暴自弃的恶意、故意将性病传染给他人，达到报复社会、报复他人的目的。
（传播性病罪）
典型真实案例三、嫖娼后因醉酒等特殊原因构成犯罪：一、简要案情：
王某至今不婚，家境殷实的王某独自创业。生意也还不错。收入比较稳定。但是王某有一个特殊的癖好：喜欢嫖娼。如果碰到了特别喜欢某个失足女，就会来个包夜。王某最近通过网络认识了号称大三学生的朱某（女，25岁）。
通过一次快餐式300元的性交易，王某觉得朱某不错，两人约定周末来一次包夜，价格2000元，约定发生性关系次数不限。约定时间到了，王某和朱某开了房间，期间双方一共发生了三次性关系。之后朱某很累，正要睡去。
（包夜协议无任何法律效力）
王某却不依不饶，说你既然包夜，就应当配合我发生性关系。朱某有些气愤！认为自己已经配合王某三次了，人已经很累了。王某依然不依不饶。朱某当即表示反对，不愿意继续发生关系。王某依仗自己事先有约定，不限次数。不顾朱某的反抗，强行与朱某发生了第四次性关系。朱某实在被王某折磨得没法忍受，于是报警告王某强奸自己。
王某拿出了自己和朱某的聊天记录，气愤地说道：说好的包夜，我不是强奸，我只是嫖娼而已，不要欺负我不懂法律！
（自认为懂法的王某）
二、案件分析认定：
王某和朱某的包夜协议有效力么？相关法律法规是如何规定？
1、根据我国《民法典》第8条之规定：民事主体从事民事活动，不得违反法律，不得违背公序良俗。
符合公序良俗的性关系应当建立在纯洁的爱慕之情，以婚姻为基础。出轨、一夜情、嫖娼等性关系都是社会共同道德应当谴责的行为。而以金钱和性关系进行交换的卖淫嫖娼行为不但是违背了公序良俗的行为，同时也是违法行为！
所以说此协议不受《民法典》的保护，当然的无效力！
（公序良俗的定义）
2、根据《合同法》第52条【合同无效的法定情形】有下列情形之一的，合同无效：（四）损害社会公共利益；
王某和朱某约定发生性关系属于卖淫嫖娼行为卖淫嫖娼虽然不构成犯罪，但是构成《治安管理处罚法》规定的违法行为，对卖淫嫖娼的，应当给予拘留或者罚款。因此王某和朱某从事卖淫嫖娼的行为本身违反了《治安管理处罚法》，违法了法律。
王某和朱某的包夜协议的建立在不但违法，而且还违背公序良俗，是《合同法》第52条中规定的合同无效的情况之一，所以二人的协议自始无效！
（合同法）
三、王某第4次和朱某发生性关系构成强奸罪么？
根据《刑法》第236条之规定：强奸罪是指以暴力、胁迫或者其他手段强奸妇女的，处三年以上十年以下有期徒刑。
上面已经论述，王某和朱某的包夜协议在法律是无效的，自始无效。什么是自始无效：就是这个协议从来没有出现过，双方均没有遵守协议的义务。既然没有法定义务，那么朱某就拥有自己身心自由的完全权利。
但是，前三次朱某自愿认可包夜协议，自愿和王某发生性关系，两人属于以金钱交换性行为的违法行为，并不是刑法规制的范畴。王某第4次和朱某发生性关系，手段明显是强迫，其违背了朱某的意志，更是侵害了朱某对于性的自主决定权。
所以说本案例中的王某构成强奸罪毫无疑问。但是本案的发生有一定的特殊性，朱某对于强奸罪的发生有一定的过错，可以对王某从轻处罚。
（王某的第四次构成强奸罪）
四、小结：
一般性的嫖娼行为只是《治安管理处罚法》的处罚对象，不属于刑事规范的范畴。但是一旦与妇女发生性关系而妇女非自愿，就有极大可能构成强奸罪。一旦构成强奸罪，起步刑非常高，起步就是三年有期徒刑！
这笔账无论是怎么算，都是划不来的。此种情况下，花钱又要坐牢！亏钱的同时搭上了自己的青春。更是直接害了自己的下一代！
（坑害了下一代人的政审）
写在最后：不管是工作受影响还是人身自由受限制亦或是声誉毁于一旦，后果都是我们很难承受的。一旦被传染性病，那更是哑巴吃黄连，有苦说不出。这种憋屈劲不是一般人能够承受的。久而久之心理就会出现畸形的变化。最终的结果就是精神异常！
即便是我们自己抗住了内心的煎熬，还有一重打击在后面。而且是重拳锤击。一旦因为嫖娼的违法行为发展到了犯罪行为的时候，不光是自己坐牢。更是直接连累了自己的下一代人。这个代价就有些更加的难以承受了！
忍一时一辈子风平浪静！有些欲望是可以通过其它合理合法的途径解决排解。为什么一定要选择最不合理，代价最大的方式呢？
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