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作者|刘钝（中国科学院自然科学史研究所）、苏淳（中国科学技术大学数学系）
来源|自然辩证法通讯,1986(04):46-58.原标题《彼得堡数学学派的中坚——纪念A.A.马尔科夫诞生一百三十周年》.
在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史上第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是马尔科夫链，它是20世纪初俄国数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔科夫（АндрeйАндреевичМаркв，1856—1922）的伟大创造。马尔科夫在数学上的贡献和他为科学与民主奋斗的一生，永远值得后人景仰。在他诞生一百三十年之际，仅以此文表示我们的纪念。
型的理论是代数数论中的一个重要课题，欧拉（L.Euler，1707—1783）、拉格朗日（J.L.Lagrange，1736—1813）、高斯（C.F.Gauss，1777—1855）这些大数学家都曾为它付出艰辛劳动。表达式
（a、b、c皆为整数）是一个二元二次型（亦称双二次型），这是二次型中最简单的一种形式。在给定判别式
的条件下，寻找二次型的极值是一件相当有意义而又十分棘手的工作，若干年来虽然有一些进展，但是疑点仍然不少。例如对于具有负的判别式值的双二次型来说，人们曾证明存在着相同类最小值的上界
，且该类型还具有这样一种性质：对于开区间（0，
）中的任意一个K值，都可有一列该类二次型，其最小值任意精确地渐近于
，而判别式一旦成为正值，这种连续性就骤然消失了。那么，对于判别式为正的双二次型来说，其最小值而分布呈现什么样的状态呢？科尔金和佐洛塔廖夫证明了：在D>0的条件下，只有
（或与其等价）这种双二次型的最小值才是
，而其余形式的双二次型的最小值都不大于
。这一结论得到法国当时著名数学家埃尔米特（C.Hermite，1822—1901）的高度评价。
马尔科夫1880年的硕士论文就是对这一结论的完善。他证明了两位前辈找到的数值
和
不过是一个收敛于
的无穷递减整数列{
}中的前两项，而通项
的值则取决于不定方程在某些附加条件下的整数解。他还给出了由不定方程的解来计算的具体方法，从而建立了二次型表示论与古老的丢番图方程的联系。他的进一步结论是：（1）对于数列{
}中的每一项，都有一种最小值为
的正的不定二次型与之对应；（2）若正的不定二次型的最小值不小于
，则必为数列{
}中的一个。这样，马尔科夫就彻底搞清了判别式大于零时不定双二次型最小值的分布情况，极大地推进了科尔金和佐洛塔廖夫的结果。
在这项研究中，马尔科夫已表现出了切比雪夫等前辈学者的影响，那就是善于联系经典问题、充分利用初等工具、追求解的精确性与实用性，以及不畏繁复计算等后来堪称彼得堡学派的风格。这篇论文还附有一个包括前20个
值计算程序与结果的大表，每一行数据对应着一个复杂的丢番图方程。甚至早期彼得堡数学家的一个缺点在这项研究中也有所反映，那就是完全排斥了几何背景，因为马尔科夫像切比雪夫一样怀疑几何语言的严密性。其实，在型表示轮中借用几何语言是最自然不过了。高斯关于三元二次型几何意义的说明被认为是闵可夫斯基（H.Minkowski，1864—1909）关于数的几何理论的开端，早期彼得堡数学家在这一领域可谓失之交臂。
代数数论中的另一个重要内容是关于理想的理论。1843年，德国数学家库默尔（E.E.Kummer，1810—1893）在企图证明费马大定理的壮举中被一道小河沟挡住了。看过他手稿的狄里克莱（P.L.Dirichlet，1805—1859）不客气地指出，代数域上的素因子分解唯一性定理对代数数不一定成立，而素因子唯一分解的假定对于他的证明又是绝对必要的。为了克服这一障碍，库默尔开始在一系列论文中创立和发展一种叫理想的工具，借助理想数来实现代数域上素因子的唯一分解[注②：举例来说，在数域
中，
，容易看出6的这四个因子都是该域中的素整数，因此唯一性分解不成立；但如引进理想数则
是唯一分解；注意这时2和3已不再是不可分解的了，因为
]，从此对理想的研究在一个时期内达到高潮。佐洛塔廖夫曾致力于三次方根域上理想素因子的分解，可惜这位英华早发的学者31岁就逝世了。在为纪念佐洛塔廖夫而出版的文集中，马尔科夫给出了数域
分解为理想素因子的当时最好的结果，并实际算出
的所有数据。
1833年，法国一个不太出名的数学家比内梅（J.Bienayme，1796—1878）在向巴黎科学院递交的一份论文中，将力学中矩的概念做了推广，文章直到34年后才在刘维尔（J.Liouville，1809—1882）的杂志上刊登出来。切比雪夫意识到矩的研究具有重要意义，试图在概率论的极限定理的证明中加以应用。他在1874年写成的论文《关于积分的极限值》中提出：若函数f（x）在区间（a，b）上非负，并且前n+1个矩都已给出，要求在（a，b）中找到适当的x值，使得积分
分别取得该区间上的最大值和最小值。他本人以连分数形式给出了某些极值不等式，但没有证明。1884年，马尔科夫在《某些切比雪夫积分的证明》一文中给出了这些不等式的严格证明，并在同年通过的博士论文第三部分给出切比雪夫问题的完整解答。
后来他在概率论研究中一再回到矩的问题上来，其中最重要的一个结果发表在1897年的《关于矩的L问题》中，在这里他把切比雪夫问题拓广为：n+1个矩的非负函数f(x)在区间（a，b）上满足不等式0≤f（x）≤L(L为一给定常数)，又设g（x）是给定了的（a，b）上的函数，要求找出积分
对一切可能的f（x）的最大值和最小值，并分别确定使其达到极值的两个具体的函数
和
。这里已经出现了泛函数的雏形，马尔科夫在假定g（x）前n+1阶导数存在且它本身在（a，b）上不变号的条件下解决了这个问题，这使他建立起了一种相当简单而又带有修正项的新的求积公式。
几乎在马尔科夫证明切比雪夫不等式的同时，荷兰数学家斯提吉斯（T.J.Stieltjes，1856—1894）也开始了同样的研究，他在《关于所谓力学积分法的研究》一文中给出了与马尔科夫类似的结果。一开始俄国数学界宣称拥有优先权，斯提吉斯则声称没有看到马尔科夫的论文，也不知道切比雪夫原先提出的问题，事实也的确是这样。问题搞清楚以后，马尔科夫与斯提吉斯成了很好的朋友，他们寄书鸿雁，频繁交流各自在矩理论以及有关内插法、构造积分、余项估价和连分数等方面的新成果，这种关系一直维持到斯提吉斯逝世。就在斯提吉斯去世前不久，他发表了带有综述性的《关于连分数的研究》，其中解决了无穷区间（0，∞）上的矩问题，并且给出了所求函数的一切整数阶矩的连分数表达式。作为回答与对好友的纪念，马尔科夫于1895年发表了《关于某些连分数收敛性的两个证明》，其中给出了斯提吉斯连分数收敛的充分条件：
。
十余年来，马尔科夫和斯提吉斯共同研究矩的理论，他们都是从古典分析中的问题出发，企图对积分上、下界给出一个精确的估计，工作中又都大量运用连分数这一工具，所以常常不谋而合或者互相启发。但马尔科夫对精确的结果特别感兴趣，不惮于繁复的数学运算，并把对于积分的估计值应用到概率论中，体现了彼得堡数学学派的风格。斯提吉斯则注意从一般的原则上考察矩问题，更关心的是积分形式的意义，而不是其估值的结果，从而导致了一类应用广泛的斯提吉斯积分的出现[注③：可以看出：只需令斯提吉斯积分
中的g（x）为
，它就成了函数f（x）的K阶矩]，为实变函数论的发展开辟了道路，这又很有些法兰西数学学派的味道。
如同他的导师切比雪夫一样，马尔科夫对实际问题有浓厚的兴趣，他在函数逼近论方面的工作就是一例。出于化学理论上的需要，以发现元素周期律著称的彼得堡大学化学家门捷列夫（Д.И.Менделеев，1834—1907），曾提出过一个问题，从数学上说相当于找出定义在闭区间[a,b]上的n次多项式f（x）的导数
在某种条件下的最大值。1889年，马尔科夫在题为《关于一个门捷列夫问题》的论文中，解决了由多项式上界来求其导数多项式上界的问题，即令∣f（x）∣≤L，则有
。这一问题也可表示为对偏离零点的多项式的最大偏差的估计，与切比雪夫建立的一系列结果都有关系。1892年，马尔科夫的同父异母弟弟弗拉基米尔（ВладимирАндреевичМарков，1871—1897）把这一问题推广到求导数多项式上确界的情况，可惜这位颇有数学才华的弟弟26岁便死于肺结核。马尔科夫还研究过许多其它实际问题，包括将空间曲面部分最小变形地转换到平面，以及铁路弯道的曲率等问题。
马尔科夫在博士论文中就给出过关于高斯积分余项的表达式，在《关于级数收敛的加速变换》一文中，又首次引入一种加快级数收敛速度的方法，被人称为“马尔科夫变换”。他对计算的偏爱最明显地表现在1888年发表的《积分
数值表》中，数据精确到八位小数。他关于近似计算理论和方法的更多成果被汇集到《有限演算》这一专著中，此书可以说是计算方法从古典分析为主要工具向以广泛采用函数论为工具过度的代表作。
中心极限定理则是极限定理的又一重要内容，它讨论随机变数和依分布收敛到正态分布的条件，在众多领域具有重要意义。前文已经提到，切比雪夫首先尝试在概率论的背景中使用矩方法。1884年马尔科夫证明了切比雪夫提出的不等式后，切比雪夫加快了工作步伐，1887年在《关于概率的两个定理》中得到中心极限定理的初步证明。说它是初步的，是因为无论在定理的陈述还是证明的过程中都有某些缺陷。马尔科夫爱自己的导师，但他更爱真理，在给彼得堡数学学派的另一成员，喀山大学的瓦西里耶夫（А.В.Васильев，1853—1929）的信中，他特别提到“切比雪夫正在证明的定理”，这封信后来以《大数定律和最小二乘法》为题，发表在1898年的喀山大学数理学报上。同年马尔科夫又在《关于方程
的解》一文中，尽量精确地陈述并证明了切比雪夫提出的命题。改进后的矩方法被人称作切比雪夫—马尔科夫矩方法。马尔科夫把自己和老师的一系列结果，都写进1900年出版的《概率演算》一书之中。这部书是他在概率论方面的集大成著作，以后每次再版他都增添一些新的内容。
出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在本世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出最重要的一类加以研究。1906年他在《大数定律关于相依变量的扩展》一文中，第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列
，其中第K个变量
各以多大概率取什么值，完全由它前面的一个变量
决定，而与更前面的那些变量无关。这就是被后人称作“马尔科夫链”的著名概率模型。就是在这篇论文里，马尔科夫建立了这种链的大数定律。
法国数学家拉普拉斯曾对概率论的早期发展做出重大贡献，但他的哲学观点是不利于这门科学深入发展的。十八世纪以来，随着牛顿力学的彻底胜利，一种机械唯物决定论的思潮开始在欧洲蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1795年他在巴黎高等师范学院发表题为《概率论的哲学探讨》讲演，淋漓尽致地表达出了这种思想，他说：“假如有人知道了某一时刻支配自然的一切力，以及它的一切组成部分的相对位置，又假如他的智力充分发达，能够把这一切数据加以充分分析，把整个宇宙中从最巨大的天体到最微小的原子的一切运动完全包括在一个公式里面，这样对他来说就没有什么东西是不确定的了，未来也好，过去也好，他都能纵览无疑”。1812年，拉普拉斯进一步提出“神圣计算者”的观念，认为这样的理想数学家只需知道世界在某一时刻的初始状态，就可以借助一个无所不包的微分方程，算出过去和未来的一切状态。换句话说，他认为任意系统在
时的状态
可由其初始时刻
和初始状态
唯一决定：
，这里f是一个微分方程。这可真是笔判终身、细评流年，数学家可以摆个卦摊了。
可是在马尔科夫的概率模型里，替代初始条件
和
的是一个条件概率，即在时刻
处于
的条件下，于时刻t出现状态
的概率
对于三个不同时刻
之间的概率，存在着
与其初始状态
之间的因果必然性，从而也否定了“神圣计算者”的神话。马尔科夫建立的概率模型不但具有深刻的哲学意义，而且具有真实的物理背景。在他的工作之前或同时，一些“马尔科夫链”或更复杂的随机过程的例子已出现在某些研究中，只不过研究者没有自觉认识到这类模型的普遍意义，或者没有用精确的数学语言表述出来罢了。例如布朗（R.Brown，1773—1858）1827年发现的悬浮微粒的无规则运动，高尔顿（F.Galcon，1822—1911）1889年提出的家族遗传规律，埃伦费斯特（P.Ehrenfest，1880—1933）1907年关于容器中分子扩散的实验等等，都可用马尔科夫链或马尔科夫过程来描述。正是在统计物理、量子力学、遗传学以及社会科学的众多新发现、新事实面前，决定论的方法显得百孔千疮。有趣的是，马尔科夫本人没有提到他的概率模型在物理世界的应用，而是利用了语言文学方面的材料来说明链的真实背景。在《概率演算》第四版中，他统计了长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律：НемыслягордыйсветзабавитьВниманьедружбывозлюбя……[注⑤：这是长诗开头的两句，直意为“不要屈服于骄傲的光，忽视了朋友的情谊”，查良铮译本作“我不想取悦骄狂的世人，只希望博得朋友的欣赏”，参阅查译《欧根·奥涅金》，四川人民出版社，1983年版]诗人火一般的诗篇在数学家那里变成了一条冷冰冰的锁链：СГСГССГСГССГСССГССГСГСГССССГСГССГССГССГСГССГСГ……这条锁链上只有两种链环，С代表辅音，Г代表元音（为了使问题简单起见，不妨把两个无音字母作辅音），马尔科夫分别统计了在С后面出现С和Г的概率p和1–p，以及在Г后面出现С和Г的概率q和1–q，把结果与按照俄语拼音规律计算出的结果进行比较，证实了语言文字中随机的（从概率论的意义上讲）字母序列符合他所建立的概率模型。完成了关于链的大数定律证明之后，马尔科夫在一系列论文中开始研究链的中心极限定理。1907年他在《一种不平常的相依实验》中证明了齐次马尔科夫链的渐进正态性；1908年在《一个链中变量和的概率计算的极限定理推广》中又作了进一步的推广；1910年他发表了重要的论文《成连锁的实验》，其中证明了两种情况的非齐次马尔科夫链的中心极限定理，与此同时在一些假定的前提下证明了模型的各态历经性，成为在统计物理中具有重要作用的遍历理论中第一个被严格证明的结果。马尔科夫链的引入，在物理、化学、天文、生物、经济、军事等领域都产生了连锁性的反应，很快涌现出一系列新的课题、新的理论和新的方法，并揭开了概率论中一个重要分支——随机过程理论蓬勃发展的序幕。马尔科夫在概率论方面还有其他一些贡献，如最小二乘法、方差系数的估计等等。他不愧为概率论现代进程中伟大的设计师和先行者，他对古典极限理论和相依随机变量序列的研究构成了彼得堡数学学派历史上最辉煌的一章。为科学与民主而斗争1886年，经切比雪夫提名马尔科夫成为彼得堡科学院候补成员，1890年成为候补院士，1896年成为正式院士。对于这一俄国科学界的最高荣誉，他抱着十分淡泊的态度；但是为了伸张真理与正义，他可以抛弃一切功名利禄。马尔科夫不是一个把自己关在书斋里不问天下事的学者，他提倡科学，反对迷信，关心哲学和社会问题，憎恨教会与沙皇的专制统治，在十九世纪末二十世纪初俄国先进知识分子争取科学与民主的运动潮流中，他是一个勇敢无畏的斗士。马尔科夫的代表作《概率演算》不但是概率论学科中不朽的经典文献，而且可以看成是一篇唯物主义的战斗檄文。这部巨著带有强烈的论战性质，而论战的主要对手竟是恩师切比雪夫的老师、被认为是俄国数学元宿的布尼亚科夫斯基。布尼亚科夫斯基早年留学巴黎，回国后任彼得堡大学数学教授和科学院院士，他于1846年出版的《概率论的数学基础》是俄国第一部概率论教科书，对于这门学科在俄国的传播和发展起到了一定的历史作用，但是书中也存在严重的错误，那就是过分强调了概率论应用于“伦理科学”的意义和宣扬不可知论思想。把概率论的方法应用到社会科学中，本来是法国大革命以来一些数学家的大胆尝试，但是由于拉普拉斯等人决定论的影响，这些学者们往往把复杂的社会现象视为服从牛顿力学的机械运动，反而损坏了概率论的声誉。布尼亚科夫斯基在自己的著作中，以长达60页的篇幅叙述“把概率分析应用到供词、传说、候选人与意见之间的各种选择和以多数表决的司法判决”。其中一个典型的例子是这样的：由全部俄文字母中任取六个并按取出顺序排列起来，由两个证人说组成了MOCKBA（莫斯科）这个词，问“证词是真的”这件事的概率是多少？在假定六个俄文字母组成的词共有5万而证人说真话的倾向为9/10的条件下，布尼亚科夫斯基算得一个小于1/300的概率，这当然大大低于一般人按常识判断出的结果。如果法庭以此来判断证词的真伪，两个“基本上诚实”的证人岂不冤哉枉也？马尔科夫在《概率演算》中尖刻地嘲讽了这个概率论应用于“伦理科学”的例子，他写道：“（这个例子）充分阐明在解类似我们所讨论的本质上很不确定的问题时，不可避免要引出许多任性的假设。如果容许证人能有错误并且取消其证词的独立性，则所考虑的问题还会有更不确定性的性质。”一针见血地道破了这种应用的荒诞不经。如果说布尼亚科夫斯基关于概率论的某些应用的错误是受法国数学家影响的话，那么他在认识论方面的错误，则是从拉普拉斯等人的机械唯物论退到滥用终极理由的神学和不可知论。他宣称概率论“所考虑和估值的是这样的现象：它们依据我们完全不知道的原因，并且由于我们的无知，我们对这些原因也无法作任何假设。”他又说：“有些哲学家以极不体面的方式，试图把证据和传说弱化的概率公式应用到宗教信仰上，以此来动摇它们。”对于这种宗教卫道士的言论，马尔科夫在《概率演算》中进行了针锋相对的批判，他说：“不管数学公式如何，对不大可能事件的叙述就仿佛对久远年代以前发生的事件一样，显然应该予以极端的怀疑，因此我们无论如何不能同意布尼亚科夫斯基院士的意见，仿佛必须划分出某一类叙述，对这类叙述怀疑一下就认为是大逆不道的了。”[注⑥：本节所引用的马尔科夫和布尼亚科夫斯基论战的原文，均参照了柯涅坚科《概率论教程》的“概率论简史”部分，丁寿田译，人民教育出版社，1956年]明眼人都知道“这类叙述”指的是什么：布尼亚科夫斯基的原意是要在《圣经》等宗教经典中的传说与一般世俗传闻之间画一条明确的界限，对于前者绝对不允许使用概率论的手段去分析。马尔科夫和布尼亚科夫斯基的这段论战，成了他与教会彻底决裂中的一颗重磅炸弹。1896年，俄国末代沙皇尼古拉二世（А.НиколайⅡ,1869—1918）粉墨登基，这是一个残酷暴虐的家伙，被人称作“血腥的尼古拉”。从青年时代就受到民主启蒙运动熏陶的马尔科夫，对沙皇的专制非常鄙夷，在接纳作家高尔基（М.Горький，1868—1936）为科学院名誉院士的斗争中，马尔科夫与许多富有正义感的的院士们一起，与尼古拉二世的粗暴干涉进行了勇敢的斗争。1902年2月25日，科学院文学部联席会议通过了一项决定，接纳高尔基为名誉院士，不久他刚刚因为发表了《海燕之歌》而遭到宪兵搜捕和被流放。这一藐视沙皇专制的事件引起尼古拉二世的恐慌，他公然给国民教育大臣发布了一条手谕：“委托您宣布，按照朕的命令，高尔基的当选无效。”受到压力的科学院院务委员会于3月12日发布了一个取消高尔基当选资格的公告。对于沙皇的这一粗暴干涉，科学院中的进步人士表示了强烈的愤慨，克罗连科（В.Г.Короленко，1853—1921）、契诃夫（А.П.Чехов，1860—1904）等人宣布退出科学院以示抗议，身在数理学部的马尔科夫于4月6日向院部委员会递交了如下声明：“我认为科学院关于取消高尔基当选资格的文告是无效的和被强加的：第一，文告盗用了科学院的名义，但事实上科学院并无意取消这一次格；第二，文告所给出的理由是毫无意义的。”虽然马尔科夫在院务委员会上要求宣读这一声明，但是遭到执行主席的拒绝。于是他又采取进一步的行动，两天以后，他向充任科学院院长的沙皇的叔父康斯坦丁递交了辞去院士称号的声明。这个根本不懂得科学的院长一面劝告马尔科夫收回成命，一面竭力向报界隐瞒事件的真相，害怕更多的科学家效法采取相同的对抗行动。只是由于马尔科夫当时在科学院正担负着编辑切比雪夫文集的工作，他才没有采取更激烈的举措。在这一事件中，马尔科夫对科学院上层集团屈服于沙皇的淫威深感失望。1903年初，他以院委会要从其成员所得科学奖金中抽税一事为借口递交了一份备忘录，上面写着：“我最诚恳地提请院委会注意，我绝不申报任何奖励，也绝不期望得到任何奖励。”其实马尔科夫这一举动的真正目的不在于反对征税，而是以此显示自己不与听凭沙皇摆布的院委会同流合污。1905年的民主革命失败以后，俄国政治上开始了一个反动时期。1907年6月3日，斯托雷平（П.А.Столыпин，1862—1911）悍然解散了有社会民主党人参加的第二届国家杜马，随后组织代表地主和资产阶级利益的第三届杜马。为此，马尔科夫照会科学院理事会说：“第三届国家杜马的建立完全违背了宪法，因而不是一个代表人民意愿的议会，而只是一个非法的团体，因此我最坚决地请求理事会不要将我的名字列入选民的名单之中。”在斯托雷平反动时期，大学里的进步力量遭到破坏，1908年国民教育部发表通告，重申取消大学自治、恢复学监制度、封闭一切社团。对此马尔科夫非常气愤，他立即给教育大臣写了一封信，信中声称：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留开设概率论课程的权利。”在与反动政府的一系列冲突之后，马尔科夫与沙皇专制的重要精神支柱东正教会实行了决裂。东正教最高会议的头子是尼古拉二世的私人教师和谋臣，他们在奴役俄国各族人民、镇压日益高涨的民主运动等一系列问题上是沆瀣一气的，沙皇当局不便直接出面干的坏事，就由东正教会来干，1901年东正教最高裁判所就宣布大文豪托尔斯泰（Л.Н.Толстой，1828—1910）为异教徒而开除了他的教籍。马尔科夫从青年时代就具有无神论倾向，托尔斯泰的思想对他也有一定的影响。1912年2月12日，马尔科夫致信东正教最高会议，信中写道：“我最诚挚地请求开除我的教籍。我希望以下我所摘引的拙著《概率演算》中的言论可以成为除籍的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教教义之基础的那些传说所持的反对态度。”下面马尔科夫整段摘引了前文所提到的他与布尼亚科夫斯基之间的论战，为了使那些不懂得什麽是概率论的神父了解他的意思，他又火上加油地写下了以下的话：“如果上述言论还不足以构成开除我教籍的理由的话，那么我再次恳切地提请你们注意：我已经不认为在圣像和木偶之间有什么本质的区别，它们当然不是上帝们，而只是上帝们的偶像；我也早就不赞成任何其他宗教，它们也都如同东正教一样，是靠火与剑来维持并为其服务的。”这无疑是向教会神权的宣战。教会在报刊上对他组织了围攻，同时彼得堡教区总主教还派代表企图说服他放弃这一表明，但马尔科夫表示：“只与来人谈数学。”万般无奈的教会只好开除了他的教籍。马尔科夫的这一行动与托尔斯泰1901年被东正教除籍一事有什么关系，我们手头没有更充分的材料能加以说明[注⑦：据马尔科夫儿子写的传记，父亲当年的行动正是针对教会开除托尔斯泰教籍“这一散发着中世纪霉臭的荒唐举动”的]，但是有一点十分明确，那就是他们在宗教与科学关系的看法上有惊人的相似之处。数学家在托尔斯泰的作品中能发现许多他们感兴趣的内容，例如《战争与和平》中那个教女儿几何学、自己演算高等数学的老保尔康斯基公爵的原型，据说就是托尔斯泰的外祖父。在这部名著的尾声，我们还可以读到有关概率论的一段议论——托尔斯泰在谈到当代科学与旧的宗教、法律、道德规范之间的关系时写到：“自从有人说出并证明了出生率和犯罪率服从数学定律，一定的地理的和政治经济条件决定这种和那种政府形式，人口和土地的关系产生人民的移动，从那个时候起，历史所寄托的那些基础便在实际上被毁坏了。”这不正是布尼亚科夫斯基感到恼火的“有些哲学家”的言论吗？1913年，沙皇政府为了转移国内日益高涨的革命情绪和准备战争，决定以1613年全俄贵族会议选举哈依尔·罗曼诺夫（М.Ф.Романовы，1596—1645）为沙皇这一事件为标志，举行浮华的罗曼诺夫王朝建立三百周年庆典。于此针锋相对，马尔科夫决定以瑞士数学家贝努利（J.Bernoulli，1654—1705）于1713年出版的《猜度数》（ArsConjectandi）为标志，在科学界发起庆祝大数定律发现二百周年的活动[注⑧：《猜度术》载有世界上第一个大数定律，该书于J.贝努利去世后八年后才出版，所以实际上大数定律的发现应在1705年之前]。这一行动清楚表明了马尔科夫对罗曼诺夫家族统治的蔑视，以及对人类精神财富创造者的无比崇敬。马尔科夫就是这样一个刚正不阿的学者，一个不畏强暴的勇士，一个坚定的无神论者和民主运动的斗士。献身俄罗斯教育事业从1880年开始马尔科夫就在彼得堡大学任教，先是担任助教和讲师，1886年成为副教授，1893年升为正教授，1905年退休荣获终身荣誉教授称号。25年来，他先后讲授过微积分、数论、函数论、矩论、计算方法、微分方程、概率论等课程，为俄国培养了许多出色的数学人才。关于马尔科夫的讲课风格毁誉不一。他与切比雪夫和李雅普诺夫不同，讲课时既不在乎板书的工整也不注意表情的生动，而且常常有意略去教科书中的传统题材，因此一般的学生抱怨不好懂；但少数优秀的学生发现他的课程从逻辑上具有无可指责的严密性，内容充实无华，其中往往还包括一些他本人的最新研究成果。从教授席位退休以后，马尔科夫仍然以科学院院士的身份在彼得堡大学开设概率论课程，讲义用的就是倾注了他半生心血的《概率演算》。为了开好这门课程，他反复对这部书进行修改，直到临终前还进行第四版的校订工作。这一最后的修订本于他逝世两年后出版。十月革命前夕，彼得堡的局势动荡不定，科学院与大学已无正常的工作秩序，马尔科夫在这种情况下请求科学院派他到外省去从事中学教育。1917年9月，年过花甲的马尔科夫来到梁赞省一个叫萨兰斯克的县城，无偿地承担县中学的数学教学工作。他有个14岁的儿子也一同来到这里，恰好就插班在他任课的年级，这个小马尔科夫（А.А.Марков，1903—1979）后来也成了有名的数学家，1953年当选为苏联科学院的通讯院士[注⑨：小马尔科夫的名字及父名与父亲完全相同，本文所用的文献1就是他为父亲写的传记。小马尔科夫最先研究理论物理和天体力学，后转向动力体系理论、测度论、拓扑学、代数等。参见林尼克、沙宁《安德列·安德列也维奇·马尔科夫》，中译载1955年2月《数学通报》]。据小马尔科夫回忆，父亲在县中学的第一堂课是十分吓人的。一个成绩一向优秀的学生被叫到黑板前演算，当他按照原任课教师的要求用圆规和三角板在黑板上画图时，马尔科夫大为恼火，狠狠地批评了这种在枝节问题上精雕细琢的做法。他讲课时总是随手画出一个示意图，而把重点放在解题的思路和方法上。为了弥补学生们的知识缺陷，他经常利用课余时间引导他们做难度较大的习题。马尔科夫父子到萨兰斯克不久十月革命就爆发了，由于内战和饥荒，他们在这里度过了一个艰苦的学年，但是马尔科夫不介意生活条件的艰苦，他把相当大的精力用在提高学生的数学修养上，为此学校领导和当地苏维埃对他十分感谢。1819年秋，马尔科夫回到彼得堡治疗眼疾，手术后返回阔别已久的学校继续开设他的概率论讲座。这时他的体力已远不如前了，每次讲课都要儿子搀扶着进出教室。然而当他一站到讲台上就感到来了精神。在几十年的教学生涯里，他比其他任何人都更忠实地向学生们灌输彼得堡数学学派的信条和理想。他继承了切比雪夫对具体问题的兴趣，不断追求数学方法的简单化和精确的结果，善于向经典课题汲取养料，同时把自己的事业深深扎根在大学这块沃土之中。在彼得堡数学家团体中，没有人比他更“彼得堡化”了。有一次别人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说“数学，那就是高斯、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫[注⑩：斯捷克洛夫（В.А.Стеклов，1864—1926）是李雅普诺夫的学生，十月革命后成为苏联数学界的领袖，现在苏联科学院的数学研究所即以他的名字命名]和我所从事研究的东西。”1929年秋天，马尔科夫的病情开始严重起来，他只得离开心爱的学校。在生命的最后一年里，他还在抓紧时间修订《概率演算》。1922年7月20日，这位在众多数学分支里留下足迹和为科学与民主奋斗一生的老人辞别了人世。马尔科夫的遗体被安葬在彼得堡的米特罗芳耶夫斯基公墓，他的墓碑没有过多的修饰，就像他的文章和讲课一样朴素无华。然而他的思想、他的成就、他的品德就像一座巍峨的丰碑，永远矗立在真理的求索者心中。主要参考文献[1]А.А.Марков,БиографияА.А.Маркова,ИзбранныйтрудытеориичиселитеориивероятностейА.А.Маркова,ИздательствоАкадемииНаукСССР,1951.[2]И.З.Штокало,Историяотечественной,том2,Издательство《Науковадумка》,1967.[3]Б.В.Гнеденко,РазвитиетеориивероятностейвРоссии,Трудыинститутаисторииестествознани,том2,ИздательствоАкадемииНаукСССР,1948.[4]Ch.C.Gillispie,DictionaryofScientificBiography,CharlesScribner’sSons,Vol.9,1971.
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